Ujian Akhir Semester (UAS) Matematika Kelas 11 Semester 2 seringkali menjadi momen krusial bagi siswa untuk mengukur sejauh mana pemahaman mereka terhadap materi yang telah dipelajari selama satu semester. Materi di kelas 11 semester 2 biasanya mencakup topik-topik yang lebih mendalam dan aplikatif, seperti Statistika Inferensial, Peluang Kejadian Majemuk, Barisan dan Deret, serta Geometri Ruang. Mempersiapkan diri dengan baik adalah kunci untuk menghadapi ujian ini dengan percaya diri.

Artikel ini akan membahas secara mendalam contoh-contoh soal UAS Matematika Kelas 11 Semester 2, lengkap dengan penjelasan langkah demi langkah penyelesaiannya. Tujuannya adalah agar siswa tidak hanya menghafal rumus, tetapi juga memahami konsep di baliknya, sehingga mampu menyelesaikan berbagai variasi soal yang mungkin muncul.

I. Statistika Inferensial: Menggali Data dan Membuat Kesimpulan

Statistika Inferensial berfokus pada penggunaan data sampel untuk membuat kesimpulan atau prediksi tentang populasi yang lebih besar. Topik-topik utama dalam bagian ini meliputi:

• Ukuran Pemusatan Data: Rata-rata, Median, Modus.
• Ukuran Penyebaran Data: Jangkauan, Variansi, Simpangan Baku, Kuartil.
• Distribusi Normal: Konsep dan penggunaan tabel distribusi normal.
• Pendugaan Parameter Populasi: Interval Kepercayaan.
• Uji Hipotesis: Konsep dasar dan penerapannya.

Contoh Soal 1: Rata-rata dan Simpangan Baku

Sebuah perusahaan mencatat tinggi badan (dalam cm) dari 10 karyawan sebagai berikut: 165, 170, 160, 175, 168, 172, 163, 178, 170, 165.

a. Hitunglah rata-rata tinggi badan karyawan tersebut.
b. Hitunglah simpangan baku dari tinggi badan karyawan tersebut.

Penyelesaian:

a. Menghitung Rata-rata ($barx$)

Rumus rata-rata adalah jumlah seluruh data dibagi dengan banyaknya data.

$barx = fracsum x_in$

Di mana:
$sum x_i$ = jumlah seluruh data
$n$ = banyaknya data

Data: 165, 170, 160, 175, 168, 172, 163, 178, 170, 165
$n = 10$

$sum x_i = 165 + 170 + 160 + 175 + 168 + 172 + 163 + 178 + 170 + 165 = 1686$

$barx = frac168610 = 168.6$ cm

Jadi, rata-rata tinggi badan karyawan adalah 168.6 cm.

b. Menghitung Simpangan Baku ($s$)

Rumus simpangan baku sampel adalah:

$s = sqrtfracsum (x_i – barx)^2n-1$

Langkah-langkahnya:

1. Hitung selisih antara setiap data dengan rata-rata ($x_i – barx$).
2. Kuadratkan setiap selisih tersebut ($(x_i – barx)^2$).
3. Jumlahkan semua hasil kuadrat selisih tersebut ($sum (x_i – barx)^2$).
4. Bagi jumlah tersebut dengan $(n-1)$.
5. Akar kuadratkan hasilnya.

$x_i$	$x_i – barx$	$(x_i – barx)^2$
165	$165 – 168.6 = -3.6$	$12.96$
170	$170 – 168.6 = 1.4$	$1.96$
160	$160 – 168.6 = -8.6$	$73.96$
175	$175 – 168.6 = 6.4$	$40.96$
168	$168 – 168.6 = -0.6$	$0.36$
172	$172 – 168.6 = 3.4$	$11.56$
163	$163 – 168.6 = -5.6$	$31.36$
178	$178 – 168.6 = 9.4$	$88.36$
170	$170 – 168.6 = 1.4$	$1.96$
165	$165 – 168.6 = -3.6$	$12.96$
Jumlah		276.4

$sum (x_i – barx)^2 = 276.4$
$n-1 = 10-1 = 9$

$s = sqrtfrac276.49 = sqrt30.711… approx 5.54$ cm

Jadi, simpangan baku tinggi badan karyawan adalah sekitar 5.54 cm.

Contoh Soal 2: Interval Kepercayaan

Dari sampel acak 100 mahasiswa sebuah universitas, diperoleh rata-rata IPK sebesar 3.20 dengan simpangan baku 0.4. Tentukan interval kepercayaan 95% untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa universitas tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:
Sampel size ($n$) = 100
Rata-rata sampel ($barx$) = 3.20
Simpangan baku sampel ($s$) = 0.4
Tingkat kepercayaan = 95%

Untuk tingkat kepercayaan 95%, nilai $z_alpha/2$ adalah 1.96 (nilai ini didapat dari tabel distribusi normal standar atau hafalan umum).

Rumus interval kepercayaan untuk rata-rata populasi ($mu$) adalah:

$barx pm z_alpha/2 times fracssqrtn$

1. Hitung Margin of Error (MOE):
   $MOE = z_alpha/2 times fracssqrtn$
   $MOE = 1.96 times frac0.4sqrt100$
   $MOE = 1.96 times frac0.410$
   $MOE = 1.96 times 0.04$
   $MOE = 0.0784$

2. Hitung Interval Kepercayaan:
   Batas Bawah = $barx – MOE = 3.20 – 0.0784 = 3.1216$
   Batas Atas = $barx + MOE = 3.20 + 0.0784 = 3.2784$

Jadi, interval kepercayaan 95% untuk rata-rata IPK seluruh mahasiswa universitas tersebut adalah (3.1216, 3.2784). Ini berarti kita 95% yakin bahwa rata-rata IPK sebenarnya dari seluruh mahasiswa universitas berada di antara 3.1216 dan 3.2784.

II. Peluang Kejadian Majemuk: Kombinasi dan Probabilitas

Peluang Kejadian Majemuk mempelajari probabilitas terjadinya dua atau lebih kejadian secara bersamaan atau berurutan. Topik yang sering diujikan meliputi:

• Kejadian Saling Lepas dan Tidak Saling Lepas: P(A $cup$ B).
• Kejadian Saling Bebas dan Tidak Saling Bebas: P(A $cap$ B).
• Peluang Bersyarat: P(A|B).
• Aturan Bayes.

Contoh Soal 3: Peluang Kejadian Saling Bebas

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola biru. Dua bola diambil satu per satu tanpa pengembalian. Berapakah peluang terambil bola pertama merah dan bola kedua biru?

Penyelesaian:

Diketahui:
Jumlah bola merah = 5
Jumlah bola biru = 3
Total bola = 5 + 3 = 8

Kejadian A: Bola pertama terambil merah.
Kejadian B: Bola kedua terambil biru.

Karena pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, kedua kejadian ini TIDAK saling bebas. Peluang kejadian kedua dipengaruhi oleh hasil kejadian pertama.

1. Peluang bola pertama merah (P(A)):
   $P(A) = fractextJumlah bola merahtextTotal bola = frac58$

2. Peluang bola kedua biru setelah bola pertama merah terambil (P(B|A)):
   Setelah bola merah pertama terambil, jumlah bola merah berkurang 1, dan total bola juga berkurang 1.
   Jumlah bola merah sisa = 5 – 1 = 4
   Jumlah bola biru sisa = 3
   Total bola sisa = 8 – 1 = 7

   $P(B|A) = fractextJumlah bola birutextTotal bola sisa = frac37$

3. Peluang bola pertama merah DAN bola kedua biru (P(A $cap$ B)):
   Rumusnya adalah $P(A cap B) = P(A) times P(B|A)$

   $P(A cap B) = frac58 times frac37 = frac1556$

Jadi, peluang terambil bola pertama merah dan bola kedua biru adalah $frac1556$.

Contoh Soal 4: Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas

Dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa. Diketahui 18 siswa suka matematika dan 15 siswa suka fisika. Jika ada 5 siswa yang suka keduanya, berapakah peluang seorang siswa dipilih secara acak menyukai matematika atau fisika?

Penyelesaian:

Diketahui:
Jumlah siswa total = 30
Jumlah siswa suka matematika (n(M)) = 18
Jumlah siswa suka fisika (n(F)) = 15
Jumlah siswa suka keduanya (n(M $cap$ F)) = 5

Kita ingin mencari peluang siswa menyukai matematika ATAU fisika, yaitu P(M $cup$ F).

Rumus peluang kejadian tidak saling lepas:
$P(M cup F) = P(M) + P(F) – P(M cap F)$

Pertama, kita hitung probabilitas masing-masing:
$P(M) = fracn(M)textTotal siswa = frac1830$
$P(F) = fracn(F)textTotal siswa = frac1530$
$P(M cap F) = fracn(M cap F)textTotal siswa = frac530$

Sekarang, masukkan ke dalam rumus:
$P(M cup F) = frac1830 + frac1530 – frac530$
$P(M cup F) = frac18 + 15 – 530$
$P(M cup F) = frac2830$
$P(M cup F) = frac1415$

Jadi, peluang seorang siswa dipilih secara acak menyukai matematika atau fisika adalah $frac1415$.

III. Barisan dan Deret: Pola Angka yang Teratur

Barisan dan Deret mempelajari urutan bilangan yang memiliki pola tertentu. Materi yang umum diujikan meliputi:

• Barisan Aritmetika: Suku pertama, beda, suku ke-n, jumlah n suku pertama.
• Barisan Geometri: Suku pertama, rasio, suku ke-n, jumlah n suku pertama, jumlah tak hingga.

Contoh Soal 5: Barisan Aritmetika

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 5 dan beda 3.
a. Tentukan suku ke-10 dari barisan tersebut.
b. Tentukan jumlah 15 suku pertama dari barisan tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:
Suku pertama ($a$ atau $U_1$) = 5
Beda ($b$) = 3

a. Menentukan suku ke-10 ($U_10$)

Rumus suku ke-n barisan aritmetika: $U_n = a + (n-1)b$

Untuk $n=10$:
$U10 = 5 + (10-1) times 3$
$U10 = 5 + (9) times 3$
$U10 = 5 + 27$
$U10 = 32$

Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 32.

b. Menentukan jumlah 15 suku pertama ($S_15$)

Rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika: $S_n = fracn2 $ atau $S_n = fracn2 (a + U_n)$

Menggunakan rumus pertama untuk $n=15$:
$S15 = frac152 $
$S15 = frac152 $
$S15 = frac152 $
$S15 = frac152 $
$S15 = 15 times 26$
$S15 = 390$

Jadi, jumlah 15 suku pertama dari barisan tersebut adalah 390.

Contoh Soal 6: Barisan Geometri

Sebuah barisan geometri memiliki suku pertama 4 dan rasio 2.
a. Tentukan suku ke-5 dari barisan tersebut.
b. Tentukan jumlah 4 suku pertama dari barisan tersebut.

Penyelesaian:

Diketahui:
Suku pertama ($a$ atau $U_1$) = 4
Rasio ($r$) = 2

a. Menentukan suku ke-5 ($U_5$)

Rumus suku ke-n barisan geometri: $U_n = a times r^n-1$

Untuk $n=5$:
$U_5 = 4 times 2^5-1$
$U_5 = 4 times 2^4$
$U_5 = 4 times 16$
$U_5 = 64$

Jadi, suku ke-5 dari barisan tersebut adalah 64.

b. Menentukan jumlah 4 suku pertama ($S_4$)

Rumus jumlah n suku pertama barisan geometri: $S_n = fraca(r^n – 1)r-1$ (jika $r > 1$)

Untuk $n=4$:
$S_4 = frac4(2^4 – 1)2-1$
$S_4 = frac4(16 – 1)1$
$S_4 = 4(15)$
$S_4 = 60$

Jadi, jumlah 4 suku pertama dari barisan tersebut adalah 60.

IV. Geometri Ruang: Visualisasi Benda Tiga Dimensi

Geometri Ruang mempelajari sifat-sifat bangun ruang, seperti jarak, sudut, dan luas permukaan. Materi yang sering diujikan meliputi:

• Jarak: Titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang.
• Sudut: Sudut antara garis dan garis, garis dan bidang, bidang dan bidang.
• Kubus, Balok, Prisma, Limas, Tabung, Kerucut, Bola: Volume dan luas permukaan.

Contoh Soal 7: Jarak Titik ke Titik pada Kubus

Diketahui sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik A ke titik G.

Penyelesaian:

Titik A dan G adalah dua titik yang berhadapan secara diagonal dalam ruang kubus. Jarak AG adalah panjang diagonal ruang kubus.

Rumus panjang diagonal ruang kubus dengan panjang rusuk $s$ adalah $d = ssqrt3$.

Diketahui $s = 6$ cm.

Jarak A ke G = $6sqrt3$ cm.

Cara lain (menggunakan Teorema Pythagoras):

1. Cari panjang diagonal bidang alas (misal AC):
   Segitiga ABC siku-siku di B.
   $AC^2 = AB^2 + BC^2$
   $AC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$
   $AC = sqrt72 = 6sqrt2$ cm.

2. Cari panjang diagonal ruang AG:
   Segitiga ACG siku-siku di C.
   $AG^2 = AC^2 + CG^2$
   $AG^2 = (6sqrt2)^2 + 6^2$
   $AG^2 = 72 + 36$
   $AG^2 = 108$
   $AG = sqrt108 = sqrt36 times 3 = 6sqrt3$ cm.

Jadi, jarak titik A ke titik G adalah $6sqrt3$ cm.

Contoh Soal 8: Jarak Titik ke Bidang pada Limas

Diketahui limas T.ABCD dengan alas persegi ABCD berusuk 8 cm. Tinggi limas adalah 12 cm (TA tegak lurus alas). Tentukan jarak titik A ke bidang TBC.

Penyelesaian:

Soal ini lebih kompleks dan biasanya memerlukan pemahaman tentang proyeksi dan penggunaan rumus luas segitiga atau volume.
Pertama, kita perlu menentukan titik proyeksi A pada bidang TBC. Misalkan proyeksi A pada bidang TBC adalah titik P. Maka AP adalah jarak yang dicari.

Langkah-langkah umum untuk soal semacam ini:

1. Visualisasi: Gambar limas dengan jelas.
2. Tentukan Koordinat (opsional tapi membantu): Jika memungkinkan, tetapkan koordinat untuk titik-titik sudut.
3. Cari Titik Proyeksi: Temukan titik pada bidang TBC yang tegak lurus terhadap A.
4. Gunakan Rumus Jarak Titik ke Bidang: Bisa dengan rumus $fracAx_0 + By_0 + Cz_0 + DsqrtA^2 + B^2 + C^2$ jika menggunakan persamaan bidang, atau dengan pendekatan geometris.

Untuk soal ini, mari kita coba pendekatan geometris.
Misalkan M adalah titik tengah BC. Maka TM adalah tinggi segitiga TBC pada alas BC.
Panjang alas persegi ABCD = 8 cm, jadi BM = MC = 4 cm.
Tinggi limas TA = 12 cm.

1. Hitung panjang TM:
   Dalam segitiga TMC siku-siku di C, tapi ini bukan segitiga yang tepat.
   Kita perlu segitiga TMB atau TCC (jika C adalah titik di alas).
   Perhatikan segitiga TBM. Kita perlu panjang TB.
   Panjang diagonal alas AC = $8sqrt2$. Jika T adalah puncak di atas pusat alas O, maka $TO=12$.
   $OB = frac12 AC = 4sqrt2$.
   $TB^2 = TO^2 + OB^2 = 12^2 + (4sqrt2)^2 = 144 + 32 = 176$. $TB = sqrt176 = 4sqrt11$.
   Karena alasnya persegi, maka TB = TC = TD = TA (jika TA adalah tinggi). Namun, soal menyatakan TA tegak lurus alas, yang berarti T adalah puncak di atas titik A. Ini adalah limas miring.

   Asumsi yang lebih umum untuk limas T.ABCD dengan alas persegi dan tinggi T ke alas: Puncak T berada di atas pusat alas O.
   Maka TO = 12 cm.
   M adalah titik tengah BC.
   Segitiga TOM siku-siku di O.
   $OM = frac12 AB = frac12 times 8 = 4$ cm.
   $TM^2 = TO^2 + OM^2 = 12^2 + 4^2 = 144 + 16 = 160$.
   $TM = sqrt160 = 4sqrt10$ cm.

2. Hitung Luas Segitiga TBC:
   Alas BC = 8 cm. Tinggi segitiga TBC adalah TM = $4sqrt10$ cm.
   Luas TBC = $frac12 times BC times TM = frac12 times 8 times 4sqrt10 = 16sqrt10$ cm$^2$.

3. Hitung Luas Segitiga yang dibentuk oleh A dan garis TB, TC (misal segitiga TBC).
   Kita perlu titik proyeksi P pada bidang TBC.
   Misalkan AP tegak lurus bidang TBC.

   Pendekatan menggunakan volume:
   Volume Limas T.ABC = Volume Limas T.PBC + Volume Limas T.PAC. Ini terlalu rumit.

   Kembali ke jarak titik ke bidang. Misalkan P adalah titik pada bidang TBC sehingga AP tegak lurus bidang TBC.
   Ini berarti AP tegak lurus TB dan AP tegak lurus TC.

   Jika kita memproyeksikan A ke garis TM, katakanlah titik X. AX akan tegak lurus TM.
   Perhatikan segitiga ABM siku-siku di B. AM = $sqrtAB^2 + BM^2 = sqrt8^2 + 4^2 = sqrt64+16 = sqrt80 = 4sqrt5$.
   Perhatikan segitiga TBM. TB = $4sqrt11$, BM = 4, TM = $4sqrt10$.
   Misalkan P adalah proyeksi A pada bidang TBC.
   Jarak A ke bidang TBC sama dengan tinggi limas A.TBC.
   Luas TBC = $16sqrt10$.

   Kita perlu mencari panjang garis yang tegak lurus bidang TBC dari A.
   Ini adalah soal yang cukup menantang untuk dijelaskan secara ringkas tanpa visualisasi grafis atau penggunaan vektor.
   Dalam konteks UAS, soal seperti ini biasanya diberikan dengan petunjuk lebih lanjut atau menggunakan bangun yang lebih sederhana (misal jarak titik ke garis pada kubus).

   Jika soalnya adalah jarak titik A ke garis TB:
   Gunakan luas segitiga ABT. AB = 8, TA = 12. Jika sudut TAB = 90 derajat (limas siku-siku di A), maka $TB = sqrt8^2 + 12^2 = sqrt64+144 = sqrt208 = 4sqrt13$.
   Luas ABT = $frac12 times AB times TA = frac12 times 8 times 12 = 48$.
   Jika P adalah proyeksi A pada TB, maka AP adalah tinggi segitiga ABT terhadap alas TB.
   $AP = frac2 times textLuas ABTTB = frac2 times 484sqrt13 = frac964sqrt13 = frac24sqrt13 = frac24sqrt1313$.

   Catatan: Soal jarak titik ke bidang pada limas miring memang rumit. Soal UAS biasanya akan menanyakan jarak yang lebih mudah dihitung atau pada bangun yang lebih standar seperti kubus.

Tips Sukses Menghadapi UAS Matematika:

1. Pahami Konsep: Jangan hanya menghafal rumus. Mengerti mengapa rumus itu ada akan membantu Anda menerapkan pada soal yang berbeda.
2. Latihan Rutin: Kerjakan berbagai macam soal latihan dari buku paket, LKS, atau sumber terpercaya lainnya. Semakin banyak berlatih, semakin terbiasa Anda dengan pola soal.
3. Buat Catatan Rangkuman: Tuliskan rumus-rumus penting dan konsep kunci di buku catatan Anda. Tinjau catatan ini secara berkala.
4. Manfaatkan Waktu: Saat mengerjakan soal, baca soal dengan teliti. Identifikasi informasi yang diberikan dan apa yang ditanyakan.
5. Periksa Kembali: Setelah selesai mengerjakan, luangkan waktu untuk memeriksa kembali jawaban Anda. Pastikan tidak ada kesalahan perhitungan atau logika.
6. Kerja Kelompok: Belajar bersama teman bisa sangat efektif. Anda bisa saling bertanya, menjelaskan konsep, dan berlatih soal bersama.

UAS Matematika Kelas 11 Semester 2 memang menuntut pemahaman yang kuat terhadap berbagai topik. Dengan strategi belajar yang tepat dan latihan yang konsisten, Anda pasti bisa meraih hasil yang optimal. Selamat belajar dan semoga sukses!