Menguasai Ujian Akhir Semester (UAS) Matematika Kelas 10 Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Memasuki akhir semester genap di kelas 10, mata pelajaran Matematika seringkali menjadi salah satu fokus utama para siswa dalam menghadapi Ujian Akhir Semester (UAS). Materi yang telah dipelajari selama satu semester perlu dikuasai dengan baik agar dapat menjawab soal-soal UAS dengan percaya diri dan meraih hasil yang optimal.

Artikel ini hadir sebagai panduan komprehensif untuk membantu Anda mempersiapkan diri menghadapi UAS Matematika Kelas 10 Semester 2. Kami akan mengulas topik-topik penting yang umumnya diujikan, serta menyajikan berbagai contoh soal beserta pembahasannya secara rinci. Dengan memahami pola soal dan cara penyelesaiannya, Anda akan lebih siap dan mampu menguasai materi dengan lebih mendalam.

Topik-Topik Kunci dalam UAS Matematika Kelas 10 Semester 2

Menguasai Ujian Akhir Semester (UAS) Matematika Kelas 10 Semester 2: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal

Sebelum kita masuk ke contoh soal, mari kita tinjau kembali topik-topik utama yang seringkali menjadi materi UAS Matematika di semester 2 untuk kelas 10. Pemahaman yang kuat terhadap setiap topik ini adalah kunci keberhasilan.

Fungsi:
- Konsep Fungsi: Pengertian fungsi, notasi fungsi, domain, kodomain, dan range.
- Jenis-jenis Fungsi: Fungsi linear, kuadrat, rasional, dan irasional.
- Operasi pada Fungsi: Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi fungsi.
- Fungsi Invers: Pengertian dan cara mencari fungsi invers.
- Grafik Fungsi: Menggambar dan menganalisis grafik fungsi linear, kuadrat, dan rasional.
Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak:
- Konsep Nilai Mutlak: Definisi dan sifat-sifat nilai mutlak.
- Persamaan Nilai Mutlak: Menyelesaikan persamaan nilai mutlak bentuk $|ax+b| = c$, $|ax+b| = |cx+d|$, dan bentuk lainnya.
- Pertidaksamaan Nilai Mutlak: Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak bentuk $|ax+b| < c$, $|ax+b| > c$, $|ax+b| le c$, dan $|ax+b| ge c$.
Trigonometri Dasar:
- Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku: Sinus, kosinus, tangen, cosecan, secan, dan kotangen.
- Sudut-sudut Istimewa: Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°.
- Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran: Menentukan tanda perbandingan trigonometri di kuadran I, II, III, dan IV.
- Identitas Trigonometri Dasar: Menyederhanakan dan membuktikan identitas trigonometri.
- Aturan Sinus dan Aturan Cosinus: Menerapkan aturan sinus dan cosinus untuk menyelesaikan masalah segitiga sembarang.
Program Linear:
- Konsep Program Linear: Fungsi tujuan dan kendala.
- Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP): Menggambar grafik pertidaksamaan linear dan menentukan irisan dari beberapa pertidaksamaan.
- Menentukan Nilai Optimum (Maksimum/Minimum): Menggunakan metode garis selidik atau substitusi titik sudut untuk mencari nilai optimum fungsi tujuan pada DHP.

Contoh Soal UAS Matematika Kelas 10 Semester 2 Beserta Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal yang mencakup topik-topik di atas. Soal-soal ini dirancang untuk memberikan gambaran tentang jenis pertanyaan yang mungkin muncul di UAS Anda.

Soal 1: Fungsi

Diketahui fungsi $f(x) = 2x – 1$ dan $g(x) = x^2 + 3$. Tentukan:
a. $(f circ g)(x)$
b. $(g circ f)(x)$
c. Jika $h(x) = (f circ g)(x)$, tentukan nilai $h(2)$.

Pembahasan:

a. Menentukan $(f circ g)(x)$:
Komposisi fungsi $(f circ g)(x)$ berarti kita memasukkan fungsi $g(x)$ ke dalam fungsi $f(x)$.
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
Karena $f(x) = 2x – 1$ dan $g(x) = x^2 + 3$, maka:
$(f circ g)(x) = 2(g(x)) – 1$
$(f circ g)(x) = 2(x^2 + 3) – 1$
$(f circ g)(x) = 2x^2 + 6 – 1$
$(f circ g)(x) = 2x^2 + 5$

b. Menentukan $(g circ f)(x)$:
Komposisi fungsi $(g circ f)(x)$ berarti kita memasukkan fungsi $f(x)$ ke dalam fungsi $g(x)$.
$(g circ f)(x) = g(f(x))$
Karena $g(x) = x^2 + 3$ dan $f(x) = 2x – 1$, maka:
$(g circ f)(x) = (f(x))^2 + 3$
$(g circ f)(x) = (2x – 1)^2 + 3$
$(g circ f)(x) = (4x^2 – 4x + 1) + 3$
$(g circ f)(x) = 4x^2 – 4x + 4$

c. Menentukan nilai $h(2)$ jika $h(x) = (f circ g)(x)$:
Kita sudah mendapatkan bahwa $h(x) = (f circ g)(x) = 2x^2 + 5$.
Untuk mencari $h(2)$, kita substitusikan $x=2$ ke dalam fungsi $h(x)$:
$h(2) = 2(2)^2 + 5$
$h(2) = 2(4) + 5$
$h(2) = 8 + 5$
$h(2) = 13$

Soal 2: Persamaan Nilai Mutlak

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak berikut: $|2x – 1| = 5$.

Pembahasan:

Persamaan nilai mutlak $|A| = c$ memiliki dua kemungkinan solusi: $A = c$ atau $A = -c$.

Dalam kasus ini, $A = 2x – 1$ dan $c = 5$.

Kemungkinan 1: $2x – 1 = 5$
Tambahkan 1 ke kedua sisi:
$2x = 5 + 1$
$2x = 6$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$x = frac62$
$x = 3$

Kemungkinan 2: $2x – 1 = -5$
Tambahkan 1 ke kedua sisi:
$2x = -5 + 1$
$2x = -4$
Bagi kedua sisi dengan 2:
$x = frac-42$
$x = -2$

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan $|2x – 1| = 5$ adalah $-2, 3$.

Soal 3: Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak berikut: $|x + 3| < 4$.

Pembahasan:

Pertidaksamaan nilai mutlak $|A| < c$ dapat diubah menjadi bentuk $-c < A < c$.

Dalam kasus ini, $A = x + 3$ dan $c = 4$.

Maka, pertidaksamaan $|x + 3| < 4$ menjadi:
$-4 < x + 3 < 4$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan majemuk ini, kita perlu mengisolasi $x$. Kurangi semua bagian dengan 3:
$-4 – 3 < x + 3 – 3 < 4 – 3$
$-7 < x < 1$

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $|x + 3| < 4$ adalah $x mid -7 < x < 1$. Dalam notasi interval, ini adalah $(-7, 1)$.

Soal 4: Trigonometri Dasar

Diketahui segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang sisi AB = 8 cm dan panjang sisi BC = 6 cm, tentukan nilai dari:
a. $sin A$
b. $cos A$
c. $tan C$

Pembahasan:

Pertama, kita perlu mencari panjang sisi miring AC menggunakan Teorema Pythagoras:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
$AC^2 = 8^2 + 6^2$
$AC^2 = 64 + 36$
$AC^2 = 100$
$AC = sqrt100$
$AC = 10$ cm

Sekarang kita dapat menentukan perbandingan trigonometri:

a. $sin A$:
Sinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi di depan sudut tersebut dengan sisi miring.
$sin A = fractextSisi di depan AtextSisi miring = fracBCAC = frac610 = frac35$

b. $cos A$:
Kosinus suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi di samping sudut tersebut dengan sisi miring.
$cos A = fractextSisi di samping AtextSisi miring = fracABAC = frac810 = frac45$

c. $tan C$:
Tangen suatu sudut dalam segitiga siku-siku adalah perbandingan antara sisi di depan sudut tersebut dengan sisi di samping sudut tersebut.
Untuk sudut C, sisi di depannya adalah AB dan sisi di sampingnya adalah BC.
$tan C = fractextSisi di depan CtextSisi di samping C = fracABBC = frac86 = frac43$

Soal 5: Aturan Sinus

Dalam segitiga PQR, diketahui besar sudut P = 60°, besar sudut Q = 45°, dan panjang sisi PQ = 10 cm. Tentukan panjang sisi QR.

Pembahasan:

Kita akan menggunakan Aturan Sinus. Aturan Sinus menyatakan bahwa perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut di depannya adalah konstan untuk semua sisi dalam segitiga.
$fracasin A = fracbsin B = fraccsin C$

Dalam segitiga PQR:
Sisi di depan sudut P adalah QR.
Sisi di depan sudut Q adalah PR.
Sisi di depan sudut R adalah PQ.

Kita perlu mencari besar sudut R terlebih dahulu. Jumlah besar sudut dalam segitiga adalah 180°.
Sudut R = $180^circ – (textSudut P + textSudut Q)$
Sudut R = $180^circ – (60^circ + 45^circ)$
Sudut R = $180^circ – 105^circ$
Sudut R = $75^circ$

Sekarang kita terapkan Aturan Sinus untuk mencari panjang sisi QR. Kita akan menggunakan perbandingan antara sisi QR dengan sinus sudut P, dan sisi PQ dengan sinus sudut R.
$fracQRsin P = fracPQsin R$

Substitusikan nilai yang diketahui:
$fracQRsin 60^circ = frac10sin 75^circ$

Kita tahu bahwa $sin 60^circ = fracsqrt32$.
Untuk $sin 75^circ$, kita bisa menggunakan identitas $sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B$.
$sin 75^circ = sin(45^circ + 30^circ) = sin 45^circ cos 30^circ + cos 45^circ sin 30^circ$
$sin 75^circ = left(fracsqrt22right) left(fracsqrt32right) + left(fracsqrt22right) left(frac12right)$
$sin 75^circ = fracsqrt64 + fracsqrt24 = fracsqrt6 + sqrt24$

Sekarang, kita selesaikan persamaan untuk QR:
$QR = frac10 cdot sin 60^circsin 75^circ$
$QR = frac10 cdot fracsqrt32fracsqrt6 + sqrt24$
$QR = frac5sqrt3fracsqrt6 + sqrt24$
$QR = 5sqrt3 cdot frac4sqrt6 + sqrt2$
$QR = frac20sqrt3sqrt6 + sqrt2$

Untuk menyederhanakan penyebut, kita kalikan dengan sekawannya:
$QR = frac20sqrt3sqrt6 + sqrt2 cdot fracsqrt6 – sqrt2sqrt6 – sqrt2$
$QR = frac20sqrt3(sqrt6 – sqrt2)(sqrt6)^2 – (sqrt2)^2$
$QR = frac20(sqrt18 – sqrt6)6 – 2$
$QR = frac20(3sqrt2 – sqrt6)4$
$QR = 5(3sqrt2 – sqrt6)$
$QR = 15sqrt2 – 5sqrt6$ cm

Soal 6: Program Linear

Seorang pedagang menjual buah mangga dan apel. Untuk kedua jenis buah tersebut, ia memiliki modal Rp 1.000.000. Harga beli mangga Rp 5.000 per kg dan harga beli apel Rp 8.000 per kg. Pedagang tersebut ingin menjual kedua jenis buah tersebut sebanyak-banyaknya, dengan kapasitas gerobaknya tidak lebih dari 200 kg. Tentukan:
a. Model matematika dari permasalahan tersebut.
b. Koordinat titik-titik pojok daerah penyelesaiannya.
c. Jika keuntungan per kg mangga adalah Rp 2.000 dan per kg apel adalah Rp 3.000, tentukan jumlah mangga dan apel yang harus dijual agar diperoleh keuntungan maksimum.

Pembahasan:

a. Model Matematika:
Misalkan:
$x$ = jumlah mangga yang dijual (dalam kg)
$y$ = jumlah apel yang dijual (dalam kg)

Kendala:
1.  **Modal:** Total modal tidak lebih dari Rp 1.000.000.
    $5000x + 8000y le 1000000$
    Bagi dengan 1000: $5x + 8y le 1000$

2.  **Kapasitas Gerobak:** Total berat buah tidak lebih dari 200 kg.
    $x + y le 200$

3.  **Non-negatif:** Jumlah buah yang dijual tidak boleh negatif.
    $x ge 0$
    $y ge 0$

Fungsi Tujuan (Keuntungan Maksimum):
Keuntungan per kg mangga = Rp 2.000
Keuntungan per kg apel = Rp 3.000
Fungsi tujuan: $Z = 2000x + 3000y$ (dimaksimalkan)

Jadi, model matematikanya adalah:
Maksimalkan $Z = 2000x + 3000y$
Dengan kendala:
$5x + 8y le 1000$
$x + y le 200$
$x ge 0$
$y ge 0$

b. Koordinat Titik-titik Pojok Daerah Penyelesaian:
Kita perlu mencari titik potong dari garis-garis kendala.

*   **Garis 1: $5x + 8y = 1000$**
    Jika $x=0$, maka $8y = 1000 implies y = 125$. Titik: (0, 125).
    Jika $y=0$, maka $5x = 1000 implies x = 200$. Titik: (200, 0).

*   **Garis 2: $x + y = 200$**
    Jika $x=0$, maka $y = 200$. Titik: (0, 200).
    Jika $y=0$, maka $x = 200$. Titik: (200, 0).

*   **Titik Potong Garis 1 dan Garis 2:**
    $5x + 8y = 1000$
    $x + y = 200 implies x = 200 - y$

    Substitusikan $x$ ke persamaan pertama:
    $5(200 - y) + 8y = 1000$
    $1000 - 5y + 8y = 1000$
    $3y = 0$
    $y = 0$

    Jika $y=0$, maka $x = 200 - 0 = 200$. Titik potong: (200, 0).

*   **Titik Pojok yang Relevan (memperhatikan $x ge 0, y ge 0$):**
    1.  Titik O (0, 0) - Perpotongan sumbu x dan y.
    2.  Titik A (200, 0) - Perpotongan $5x+8y=1000$ dengan sumbu x, dan juga titik potong kedua garis.
    3.  Titik B (0, 125) - Perpotongan $5x+8y=1000$ dengan sumbu y.
    4.  Titik C (0, 200) - Perpotongan $x+y=200$ dengan sumbu y.

    Kita perlu menentukan DHP. Uji titik (0,0) pada kendala:
    $5(0) + 8(0) le 1000 implies 0 le 1000$ (Benar)
    $0 + 0 le 200 implies 0 le 200$ (Benar)

    Perhatikan bahwa garis $x+y=200$ memotong sumbu y di 200, sedangkan garis $5x+8y=1000$ memotong sumbu y di 125. Jadi, DHP akan berada di bawah garis $5x+8y=1000$ dan di bawah garis $x+y=200$.

    Titik-titik pojok yang membentuk DHP adalah:
    *   (0, 0)
    *   (200, 0)
    *   (0, 125)
    *   Titik potong antara $5x + 8y = 1000$ dan $x + y = 200$. Oh, tunggu. Titik (200, 0) adalah titik potongnya.
    Mari kita cek kembali.
    Garis 1: $5x + 8y = 1000$. Titik (0,125) dan (200,0).
    Garis 2: $x + y = 200$. Titik (0,200) dan (200,0).

    Karena kendalanya adalah "kurang dari atau sama dengan", DHP berada di bawah kedua garis.
    Garis $x+y=200$ memotong sumbu y di 200.
    Garis $5x+8y=1000$ memotong sumbu y di 125.
    Jadi, batasan $y le 125$ lebih ketat di sumbu y.

    Titik potong yang *benar* antara kedua garis adalah (200,0).
    Jadi, titik-titik pojok DHP adalah:
    1.  (0, 0)
    2.  (200, 0)
    3.  (0, 125)

    Perhatikan jika $x=100$, maka dari $x+y le 200 implies y le 100$. Dari $5x+8y le 1000 implies 500+8y le 1000 implies 8y le 500 implies y le 62.5$.
    Jadi, titik (100, 62.5) adalah titik potong dari kedua garis jika tidak ada kendala $x ge 0, y ge 0$. Namun, titik (200, 0) adalah titik potong di sumbu x.

    Mari kita gambar sketsanya. Garis $x+y=200$ melewati (0,200) dan (200,0). Garis $5x+8y=1000$ melewati (0,125) dan (200,0). Karena kedua kendala harus dipenuhi, daerahnya dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan garis $5x+8y=1000$ sampai titik (200,0).
    Jadi, titik-titik pojoknya adalah:
    *   (0, 0)
    *   (200, 0)
    *   (0, 125)

c. Menentukan Jumlah Mangga dan Apel untuk Keuntungan Maksimum:
Kita substitusikan koordinat titik-titik pojok ke dalam fungsi tujuan $Z = 2000x + 3000y$.

*   Pada titik (0, 0):
    $Z = 2000(0) + 3000(0) = 0$

*   Pada titik (200, 0):
    $Z = 2000(200) + 3000(0) = 400000 + 0 = 400000$

*   Pada titik (0, 125):
    $Z = 2000(0) + 3000(125) = 0 + 375000 = 375000$

Nilai maksimum $Z$ adalah Rp 400.000, yang diperoleh pada titik (200, 0).

Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum, pedagang tersebut harus menjual 200 kg mangga dan 0 kg apel.

Tips Tambahan untuk Menghadapi UAS Matematika

Pahami Konsep, Bukan Hanya Menghafal Rumus: Matematika dibangun di atas pemahaman konsep. Pastikan Anda mengerti mengapa suatu rumus bekerja dan bagaimana menerapkannya dalam berbagai situasi.
Latihan Soal Secara Rutin: Semakin banyak Anda berlatih, semakin terbiasa Anda dengan berbagai tipe soal dan semakin lancar Anda dalam menyelesaikannya. Kerjakan soal dari buku paket, LKS, maupun sumber-sumber lain.
Identifikasi Kelemahan Anda: Setelah berlatih, perhatikan topik atau jenis soal mana yang masih Anda rasa sulit. Fokuskan waktu belajar Anda untuk menguasai area-area tersebut.
Buat Ringkasan Materi: Catat poin-poin penting, rumus-rumus kunci, dan contoh soal beserta solusinya. Ringkasan ini akan sangat membantu saat Anda melakukan revisi singkat.
Manfaatkan Waktu Ujian dengan Bijak: Baca setiap soal dengan teliti sebelum menjawab. Kerjakan soal yang Anda anggap mudah terlebih dahulu untuk menghemat waktu. Jika ada soal yang sulit, jangan panik, coba pecahkan langkah demi langkah.
Cek Kembali Jawaban Anda: Jika waktu masih ada, luangkan waktu untuk memeriksa kembali semua jawaban Anda, terutama pada perhitungan.

Penutup

Menghadapi UAS Matematika Kelas 10 Semester 2 memang membutuhkan persiapan yang matang. Dengan memahami topik-topik kunci, berlatih soal-soal seperti yang telah dicontohkan di atas, dan menerapkan tips-tips belajar yang efektif, Anda pasti dapat meningkatkan kepercayaan diri dan meraih hasil terbaik. Ingatlah bahwa konsistensi dalam belajar adalah kunci utama keberhasilan. Selamat belajar dan semoga sukses dalam UAS Anda!

Visit Us

Email Us

Call Us